Matematik Felsefesinde Yapılandırmacılık Nedir?

Yapılandırmacı matematik, klasik matematikten "vardır" ifadesinin "inşa edebiliriz" şeklinde yorumlanmasıyla ayrılır. Yapılandırıcı yaklaşımda, yalnızca varoluşsal niceleyiciyi değil; tüm mantıksal bağlaçları ve niceleyicileri bu mantıksal ifadeleri içeren tek önermenin kanıtını nasıl inşa edeceğimize dair talimatlar olarak yeniden yorumlamamız lüzumir. Klasik matematikte önermeleri doğrulamak için onun değilini varsayarak ve ardından bu varsayımdan tek çelişki türeterek matematiksel ispat etmek mümkündür. Ancak yapılandırmacı matematikte niceleyicileri doğrulamaya dayalı tek yolda izlenmektedir.

Dışlanmış Orta İlkesi

Üçüncü Halin İmkansızlığı olarak da belirtilen Dışlanmış Orta İlkesi bize, tek ppp önermesiyle ilgili yalnızca ikisi olasılık olduğunu söyler; ya ppp doğrudur ya da ppp'nin olumsuzlaması (değili) doğrudur. Matematiksel gösterimi sonrakiler anlatımlarda da anlaşılır olması için şu şekildedir:

(p∨¬p)(p\lor\neg p)(p∨¬p)

Bu ilkeye göre ¬p\neg p¬p'yi talep etmek, ppp 'nin tek çelişkiyi anlam ettiğini göstermektedir. Ancak çoğu zamanlar matematikçilerin ne tek kanıtı ne da tek ispatı olacaktır. Bunu görevakıf oldu için Goldbach Sanısı'nı düşünmek yeterlilik olacaktır: 2'den büyük her arasında biri çift hepsi sayı, ikisi asalın toplamı olarak ifadeleri edilebilir. Bu hipotez, 1742'de Goldbach'ın Euler'e yazdığı mektupta birinci kez ortaya atılmasından bu yana birçok matematikçinin çabalarına rağmen ne kanıtlanabilmiş ne da çürütülebilmiştir. Goldbach Sanısı, matematikteki önceki ve en çok bilinen çözülmemiş sualnlerden biridir. Bu gerçek, yapılandırmacı matematik yaklaşımını manaamıza yardımcı olacaktır.

Mantığın Yapıcı Yorumu

Matematiğin hepsi manaıyla hesaplamalı tek şekilde geliştirilmesi, klasik matematiğin dayandığı birçok yorumu olanaksız kılmaktadır. Yapıcı çalışmalar ortaya koyavakıf oldu için klasik yorumlardan yapıcı yorumlara yönelmek lüzummektedir. Bu noktada matematikteki yapılandırmacılığın çeşidi diyebileceğimiz farklı yaklaşımlardan bahsetti yerinde olacaktır.

Matematiksel Sezgicilik

Matematiksel sezgicilik, Hollandalı matematikçi Luitzen Egbertus Jan Brouwer tarafından ortaya atılan tek matematik felsefesi yaklaşımıdır. Yeri gelmişken yazıda geçen sezgicilik kavramı ile her arasında biri seferinde "matematiksel sezgicilik" kast edildiğini belirtmekte yarar var.

Brouwer, topolojide çığır açan çalışmalar yapan ve genç yaşta ünlenen ışıltılı tek matematikçiydi. Hayatı boyunca olan bağımsız tek zihne sahipti ve bu özelliği onu birçok matematikçi, özellikle da David Hilbertle çatışmaya soktu. Brouwer 24 yaşında, solipsist içeriği matematik felsefesinin habercisi olan Yaşam, Sanat ve Mistisizm adlı kitabını yazdı.

Doktora tezinde, sezgiciliğin temelleri birinci kez formüle edildi bununla birlikte henüz bu ad altında ve nihai olarak biçimde değildi. 1913'ten itibaren Brouwer, doktora tezinde formüle ettiği fikirleri hepsi tek matematik felsefesine dönüştürmeye gittikçe ilave kendini adadı. Sadece sezgicilik felsefesini rafine etmekle kalmadı, aynı zamanda özellikle "süreklilik teorisi" ve "kümeler teorisi"ni bu ilkelere göre yeniden ele aldı.

O zamana kadar Brouwer; Cambridge, Viyana ve Göttingen gibi dönemin teknik merkezlerinde sezgicilik üzerine tesirli konferanslar veren ünlü tek matematikçiydi. Felsefesi birçok kişi tarafından garip bulunsa da zamanın en ünlü matematikçilerinden bazıları, Platoncu Kurt Gödel bunlardan biriydi, tarafından klasik akıl yürütmeye vahim tek seçenek olarak ele alındı.

Sezgicilik, matematiğin zihnin tek yaratımı olduğu fikrine dayanır. Bir matematiksel ifadenin doğruluğu, bununla birlikte onu doğrulayan aydın tek hayal yoluyla kavranabilir ve matematikçiler arasındaki iletişim, farklı zihinlerde aynı aydın süreci yaratmanın tek aracı olarak servis eder.

Matematiğe dair bu görüşün, matematiğin günlük pratiği üzerinde geniş içeriklı tesirleri vardır. "Riemann hipotezi" gibi şu anda ne kendisinin ne da olumsuzunun kanıtı bulunmayan önermeler vardır. Sezgicilikte tek önermenin olumsuzunu temel olmak, önermenin doğru olmadığını kanıtlayavakıf oldu manaına geldiğinden bu, hem A önermesinin hem da A önermesinin değilinin sezgisel olarak geçerli olmadığı manaına gelir. Önermeler zamanlar içinde kanıtlanabilir hale gelebilirler ve bu nedenle öncesinde sezgisel olarak geçerli giriş edilebilirler.

" Sanırım bir da var olduğumu kanıtlayamam."

Sezgiciliğin İki Eylemi

Sezgiciliğin birinci aşamasına göre matematiği, matematiksel dilden ve dolayısıyla teorik mantık tarafından tanımlanan diller olgularından tamamlanmış ayırarak özünde dilsiz tek aydın etkinlik olduğunu onayladı lüzumir.

Sezgiciliğin sonuncu aşaması ise yepyeni matematiksel varlıklar yaratmanın ikisi yolunu onaylamaktir. İlk yol, daha önce edinilmiş matematiksel varlıkların serbestçe ilerleyen sonsuz dizileri şeklinde yaratımdır. Diğer yolda ise daha önce edinilmiş matematiksel varlıklar için varsayılabilir özelliklerin; bu özellikler kesin tek matematiksel varlık için geçerli olması durumunda, bu varlığa eşit olarak tanımlanmış tüm matematiksel varlıklar için da geçerli olması koşulunu sağlamasıdır.

Brouwer'ın felsefesinin temelini sezgiciliğin bu ikisi eylemi oluşturur. Brouwer yalnızca bu ikisi eylemden sezgisel matematik alanını yaratır. Bu noktada sezgicilik, matematiksel Platonizm'den ayrılır. Çünkü bizden bağımsız tek matematiksel gerçeklik varsaymaz. Dolayısıyla Brouwer'ın sezgiciliği diğer matematik felsefelerinden ayrı durur.^[1]

Brouwer-Heyting-Kolmogorov (BHK) Yorumu

Sezgisel matematikçinin kullandığı mantığı tanımlamak için öncelikle zihnin matematiksel süreçlerini analizetti lüzumiyordu, bu analizden mantık çıkarılabilirdi. 1930'da Brouwer'ın en ünlü öğrencisi Arend Heyting, sezgiselcinin kullandığı mantığı o kadar açık tek şekilde karakterize eden tek dizi biçimsel aksiyom yayınladı ki bunlar evrenselliği olarak sezgisel mantık aksiyomları olarak bilinir hale geldi:

• (P∨Q)(P\lor Q)(P∨Q) kanıtlamak için ya PPP'nin kanıtına ya da QQQ'nun kanıtına malik olmalıyız.
• (P∧Q)(P\land Q)(P∧Q) kanıtlamak için hem PPP'nin hem da QQQ'nun kanıtına ihtiyacımız vardır.
• (P→Q)(P\to Q)(P→Q) ispatı, hiç tek P ispatını Q'nun ispatına dönüştüren tek algoritmadır.
• ¬P\neg P¬P kanıtlamak için PPP şunu anlam eder ki 0=10=10=1.
• ∃xP(x)\exist xP(x)∃xP(x) kanıtlamak için tek xxx nesnesi oluşturmalı ve P(x)P(x)P(x)'in geçerli olduğunu kanıtlamalıyız.
• ∀x∈SP(x)\forall x \in SP(x)∀x∈SP(x) ispatı, hiç tek xxx nesnesi ve x∈Sx\in Sx∈S doğruluğunu kanıtlayan verilere uygulandığında P(x)P(x)P(x)' içinde geçerli olduğunu kanıtlayan tek algoritmadır.

Özyinelemeli Yapıcı Matematik

1940'ların sonlarında Rus matematikçi Andrey Andreyevich Markov, esasen sezgisel mantıkla "özyinelemeli fonksiyon teorisi" olan seçenek tek yapıcı matematik biçimi RUSS'ı geliştirmeye başlamıştır. Bu çeşitte nesneler Gödel numaralandırması yoluyla tanımlanır ve işlemlerin tümü özyinelemelidir. RUSS ile Turing, Church ve diğerlerinin 1936'da hesaplanabilir süreçlerin doğasını açıklığa kavuşturan çalışmalarından sonraları geliştirilen klasik özyinelemeli çözümleme arasındaki ilköğretim fark, RUSS' ta kullanılan mantığın sezgisel olmasıdır.

Markov, matematiksel kurguların farklı tek mantık biçimi lüzumtirdiğini giriş eder. Ancak hayal sürecinin diller dışı ya da aydın olduğu görüşüne katılmaz. Bunu, malumatsayarda yürütülebilen tek süreç gibi gerçek olarak anlar. Dolayısıyla Markov, yapıcı nesnelerle aydın olarak tasarlanmış nesneleri değil, alfabedeki harfler gibi beton nesneleri, diğer ayırt edilebilir işaretler koleksiyonunu anlar.

Buna göre Markov, Brouwer'ın matematiğin ve matematiksel işlemlerin kesin nesnelerin yeterince açık olduğu ve bu nesnelerin bu işlemlerle manipüle edilmesinin tutarsızlıklara yolda açamayacağı varsayımını reddeder ve matematiksel önermeleri serbest matematiksel yaratımın tuzlar imgeleri olarak gören görüşünü göz ardı eder.

Sonuç olarak Markov'un görüşüne göre yapıcı matematik, yapıcı süreçleri ve bu süreçler tarafından üretilen yapıcı nesneleri inceler; bu da yepyeni tek mantık biçimine diğer Markov'un manaında yapıcı matematiksel mantığa ihtiyaç duyar.^[2]

Bishop'ın Yapıcı Matematiği

Matematikte yapıcılığın profilini yükseltmek için lüzumen şey; Brouwer'ın klasik olmayan ilkelerine ya da özyinelemeli fonksiyon teorisinin mekanizmasına bağlı kalmadan, yoğun analizin içeriklı tek yapıcı gelişiminin mümkün olduğunu gösterecek üst düzey tek matematikçiydi. Bu ihtiyaç, 1967'de Errett Bishop'ın Yapıcı Analizin Temelleri adlı monografisinin yayınlanmasıyla karşılandı. Bishop, bu çalışmasıyla Hilbert tarafından çok güçlü tek şekilde ifadeleri edilen şu yaygın görüşü yalmanaış oldu:

Dışlanmış Orta İlkesi'ni matematikçiden edinmek, astronomun teleskobu kullanmasını ya da boksörün yumruklarını kullanmasını yasaklamakla aynı şey olurdu.

Bishop'ın matematiği olan BISH, okunabilirlik avantajına malik bulunmakla kalmaz; Bishop'ın kitabının hiç tek sayfasını açtığınızda gördüğünüz şey açıkça çözümleme olarak tanınabilir, sezgisel ya da özyinelemeli matematikten farklı olarak birçok farklı yoruma müsaade verir. Sezgisel matematik, özyineleyici yapıcı matematik ve bile klasik matematik, BISH için modeller sunar.

Deneyimler, sezgisel mantığa sınırlamanın matematikçileri her arasında biri zamanlar algoritmik olarak tanımlanabilecek tek şekilde çalışmaya güçladığını göstermektedir; bu nedenle algoritmik matematik, yalnızca sezgisel mantık kullanan matematikle eşdeğer görünmektedir. Eğer şart böyleyse sezgisel mantığı kullanarak yapıcı matematiği yalnızca "yapıcı nesneler sınıfı" üzerinde değil, akılcı tek şekilde tanımlanmış hiç tek matematiksel obje üzerinde uygulayabiliriz.

Yapıcı matematiğin ilköğretim özelliği olarak mantığı ele saha bu görüş; Brouwer, Heyting, Markov, Bishop ve diğer yapılandırmacı öncülerin inancının tek parçası olan matematiğin mantık üzerindeki üstünlüğünü yansıtmamaktadır. Öte yandan, uygulamadaki yapıcı matematiğin özünü yakalamaktadır.

Gerçek matematik etmek için sezgisel mantıktan daha fazlası lüzummektedir. Bishop için matematiğin yapı taşları, pozitif hepsi sayılardı. BISH için erkenden dönem biçimsel sistemler arasında Myhill'in sayı, küme ve fonksiyonun ilköğretim kavramlarına dayanan aksiyomatik temeli; Feferman' ın açık matematik sistemi ve Friedman' ın sezgisel ZF küme teorisi mekan alıyordu. Bishop' ın matematiğini kavramak için bu biçimsel temeller detaylıca incelenebilir.

Martin-Löf'ün Yapıcı Tip Teorisi

Martin-Löf, 1966-68 yılları arasında Avrupa'da verdiği derslere dayanarak Yapıcı Matematik Üzerine Notlar adlı eserini yayınladı. Martin-Löf'ün kitabı, BISH'ten ziyade RUSS'ın ruhuna uygundu. Martin-Löf daha sonraları dikkatini Bishop tarzı yapıcı matematiğin temeli olarak tip teorisine yöneltti. Makine öğreniminin temeli üzerine fikirleri, öz sözleriyle şöyledir:

Her matematiksel obje kesin tek tür ya da tiptedir ve her arasında biri zamanlar türüyle birlikteki verilir. Bir tür, o türden tek obje oluşturmak için ne yapmamız lüzumtiğini açıklayarak tanımlanır. Başka tek deyişle tek tür, o türden tek obje olmanın ne manaa geldiğini anlıyorsak iyice tanımlanmıştır. Dolayısıyla örneğin N→NN\to NN→N (NNN'den NNN'e fonksiyonlar) tek türdür. Bunun nedeni ilköğretim özyinelemeli fonksiyonlar gibi kesin sayı kuramsal fonksiyonları bilmemiz değil, yaygınlaşan olarak sayı kuramsal fonksiyon kavramını anladığımızı düşünmemizdir.

Sonuç

Matematikçilerin matematiğin yapıcı içeriğini analizetti için izlediği gelenekselliği yol, klasik mantığı sonraki yoldur; gerçek tek malumatsayar tarafından verilemeyen hükümlardan kaçınmak için matematikçi, özyinelemeli fonksiyon teorisi gibi katı algoritmik sınırlar içinde kedinmek güçundadır. Buna karşılık yapıcı matematikçinin izlediği yol, hesaplama açısından giriş edilemez hükümları otomatik olarak ele saha sezgisel mantığı takip eder. Bu mantık, matematiği yapıcı sınırlar içinde tuttu için yeterlidir. Böylece matematikçi; tek analist, cebirci, geometrist ya da diğer matematikçiler gibi doğal tek tarzda çalışmakta özgürdür.

Karşılaşılabilecek kısıtlamalar, yalnızca sezgisel mantığın getirdiği kısıtlamalardır. Bishop ve diğerlerinin gösterdiği gibi Hilbert tarafından ortaya atılan ve bugün hala olan yaygın olarak giriş gören, sezgisel mantığın matematiğin gelişimini imkansız kılacak kısıtlamalar getirdiği inancı açıkça yanlıştır.

Derin, modern matematiğin büyük bölümü tamamlanmış yapıcı yöntemlerle üretilebilir ve üretilmiştir. Dahası yapıcı matematik ile programlama arasındaki bağlantı, soyut matematiğin malumatsayar üzerinde gelecekteki uygulaması ve geliştirilmesi için büyük beklenti vaat etmektedir.